В основе этой фамилии – самобытное русское имя Бажен (украинский вариант – Бажан) – ‘желанное дитя’. В это же «родовое гнездо» входят Бажанов, Бажов, Бажуков, Бажутин.
Прямые «родственники» Баженовых – Чаяновы, ведь чаять значит ‘надеяться, уповать, ожидать’. И имя такое – Чаян – в старые времена тоже бытовало на Руси.
И, наконец, Беклемишев – тюркский вариант фамилии с этим же значением – ‘ожидаемый’.