Возможно двоякое происхождение фамилии. Тюркское – от бай, что значит ‘богатый хозяин’, и баев – ‘баю принадлежащий’.
Другой вариант – от глагола баить – говорить; от слов краснобай, т.е. болтун, любящий, как мы сейчас бы сказали, вешать лапшу на уши, сказывать байки – ‘выдумывать, фантазировать’. Вот такого «сказочника» и говоруна Баевым и прозвали.