Должно быть, не все, носящие фамилию Бадай, знают, что в среднерусских говорах этим словом определяли шаловливого, любящего поозорничать, пошутить человека. Так могли назвать малыша склонные к юмору родители. Но нельзя исключить и тюркское происхождение фамилии. Достаточно вспомнить, что в Каракалпакии и сейчас есть заповедник Бадай-Тугай. С помощью суффиксов возникли привычные для русского уха фамилии: Бадаев, Бадаин, Бадайнов, Бадайчиков.
Возможно, к этому же ряду следует отнести и фамилию Батаев: чередование д/т типично для русского языка. Современные Батавины, Батавинские, Батавинцевы ведут свою родословную из казачьих станиц: батава – это пеший казачий строй, фаланга, колонна.