Должно быть, не все, носящие фамилию Бадай, знают, что в среднерусских говорах этим словом определяли шаловливого, любящего поозорничать, пошутить человека. Так могли назвать малыша склонные к юмору родители. Но нельзя исключить и тюркское происхождение фамилии. Достаточно вспомнить, что в Каракалпакии и сейчас есть заповедник Бадай-Тугай. С помощью суффиксов возникли привычные для русского уха фамилии: Бадаев, Бадаин, Бадайнов, Бадайчиков.
Возможно, к этому же ряду следует отнести и фамилию Батаев: чередование д/т типично для русского языка. Современные Батавины, Батавинские, Батавинцевы ведут свою родословную из казачьих станиц: батава – это пеший казачий строй, фаланга, колонна.

У С.Т. Аксакова есть прекрасная повесть «Детские годы Багрова-внука». Фамилия не редкая, в ней слышится слово багор. В народе же багром обычно называли сноровистого, ухватистого мужика, который умел, как багром, подцеплять все, что другие недавно выкинули за ненадобностью, а он видел, как старую вещь использовать в хозяйстве.

Трудно сегодня даже предположить, что в Древней Руси бытовало имя Багрим, произошедшее от названия мусульманского религиозного праздника Байрам. В некоторых регионах это же имя произносили как Бугрим. Отсюда и фамилии Багримов, Байрамов, Бугримов.

Свою фамилию надо уметь слышать. При произнесении фамилии Багреев сразу вспоминаются слова «багровый, багрянец». И в самом деле: в архангельских говорах багреем называли вспыльчивого, легко краснеющего, даже багровеющего от волнения человека. Впоследствии прозвище стало фамилиями: Багреев, Багреин, Багрюшкин.

Куряне баглаем дразнили увальня, неповоротливого, нерасторопного человека. А пришло это слово к русским от татар.

Фамилия северная: в онежских говорах бабыкой называли заику.

Фамилия весьма многозначная. Богат на диалекты и говоры русский язык. Если в северных регионах бабурой дразнили человека, не умеющего сдержаться и выбалтывающего любую чужую тайну, или просто надоедливого говоруна, то на юге так назывался мотылек. Известны и такие значения слова бабура: ‘горький гриб’; ‘кость, которая использовалась при игре в кости’; ‘рыба-подкаменщик’. Любое из этих значений могло стать основанием для того, чтобы наградить человека прозвищем. Оно «прилеплялось» накрепко и переходило в фамилию.

В основе этой фамилии слово баба – та самая, про которую сложено множество пословиц и поговорок, часто весьма неприятных для представительниц прекрасного пола, вроде: «У бабы волос долог, да ум короток». А сколько сказок начинается: «Жили-были дед да баба». Неудивительно, что фамилий с этим корнем очень много: Бабакин, Бабанин, Бабанов, Бабенин, Бабенко, Бабёнышев, Бабий, Бабин, Бабинов, Бабинский, Бабицын, Бабич, Бабичев, Бабищев, Бабкин, Бабочкин, Бабский, Бабст, Бабулин, Бабунин, Бабусин, Бабухин, Бабушкин, Баушкин.
Есть некоторая вероятность того, что деревенских чемпионов в русской народной игре бабки звали Бабкиными, и это прозвище могло стать фамилией.
А вот Бабаков – вроде бы из того же ряда, но это не так. Бабак, байбак – степной сурок. Таким прозвищем одаривали человека малоподвижного, плотного телосложения или одиноко и замкнуто живущего. Впрочем, и мастер, выделывающий бабаки – чурбаны, усаженные острыми гвоздями и крючьями для добытчиков дикого меда, – тоже мог получить такое прозвище. Байбаков, естественно, «однофамилец» Бабакову.

Бабаем в некоторых российских регионах называют деда, дедушку. Это безусловное влияние татарского языка, поскольку там бабай означает ‘старик’. Маленьких детей стращали: «Не будешь слушаться, вон бабай под окном: раз – и в мешок!». Слово звучное, легко могло стать прозвищем, от него и пошли фамилии Бабаев, Бабаевский.

Аща(е)улить – в рязанских, тульских говорах означает ‘скалить зубы, поднимать на смех’. Ащеул, ощеул – ‘пересмешник’: «Полно тебе ащаулить-то. Знай, ащаулка, свою улку». Подобное прозвище было легко заработать: народ наш на шутку горазд. А потом появились редкие фамилии Ащеулов, Ощеулов. В этот же ряд придется поставить и Щауловых, Шаульниковых. В иных регионах щаул означало ‘оскал’. Щаульником, естественно, звали зубоскала и праздного повесу. В Нижнем Новгороде так дразнили скрягу; в Курске, Тамбове – бездельника, клеветника. Многозначная получается фамилия: чтобы выяснить истинный смысл, придется разузнать, откуда родом предки.