Бабаем в некоторых российских регионах называют деда, дедушку. Это безусловное влияние татарского языка, поскольку там бабай означает ‘старик’. Маленьких детей стращали: «Не будешь слушаться, вон бабай под окном: раз – и в мешок!». Слово звучное, легко могло стать прозвищем, от него и пошли фамилии Бабаев, Бабаевский.