С этой фамилией без словаря диалектизмов не разобраться. В южнорусских и донских говорах байгуш – бедняк, нищий, бродяга. Поскольку такого населения на Руси всегда хватало, то и прозвище, ставшее фамилией, было довольно распространенным.