В основе этой фамилии одно из старых русских имен Агап (просторечное Агапей, старое Агопий), Агапион или Агапит, в переводе с греческого – ‘любить, любовь, любимый’. Имен этих сейчас почти уже не встретишь, однако от них и их производных (в частности, Ганя, Гаша, Агаша) образовались фамилии Агапеев, Агапьев, Агашков, Гапеев, Гашев.
Возможно, в этот же ряд стоит поставить фамилии Агашин, Гашин (сын Агаши, Гаши), но велика вероятность образования этих фамилий от женского имени Агафья (в переводе с греческого – ‘добрая, хорошая’).