Фамилия могла иметь два источника происхождения. Возможно, она появилась на Орловщине, где слово извек означало ‘калека’. Извечать, извековать – то же, что современное «изувечить».
Однако есть и другая версия. Во время служб в храме, которые всегда шли на церковнославянском языке, можно часто услышать выражение из века, т.е. с незапамятных времен. В семинариях, где для воспитанников часто придумывались новые фамилии, изобрели и эту.