Фамилия образована от крестильного имени Абакум (официально писалось Аввакум) — с др.-евр. — любовь божия. Абаша, Абашка уменьшительные формы этого имени. Образована от полной формы этого имени, такие фамилии были характерны для среды cвященнослужителей. Есть и «окающие» варианты этой же фамилии — Обакумов, Обакшин. Фамилии на абаш могут быть как и от имени Абакум, так и от тюркского имени (см. Абашев). А еще, на русской почве, можно предположить связь с диалектным або — «либо, или, лишь бы». Возможно так могли прозвать человека, часто произносящего это слово.